Le coin des matheux..........Le pneumatique

 Note du ouaibmastair : bon, vous avez dix minutes pour digérer puis >>>>>>>>>>>>> interro écrite !

C'est l'élément d'interface entre le véhicule et la route. Sa capacité à transmettre les efforts est donc primordiale pour une bonne tenue de route. Ses qualités d'amortissement constituent également un premier dispositif d'isolation vibratoire vis-à-vis des sollicitations engendrées par la route.

La carcasse est constituée de caoutchouc, renforcé par plusieurs couches (appelées "plis") faites de fils de nylon, de verre, ou d'acier, c'est-à-dire de matériaux à module d'élasticité élevé afin de supporter les efforts de traction. Un paramètre important vis-à-vis de la tenue de route est l'alignement de ces fils. Dans un pneu radial, les fils sont disposés ... radialement, en vue de côté. Sur un pneu diagonal, l'angle des fils est typiquement de 40^o avec l'axe longitudinal, les plis successifs étant orientés dans un sens puis dans l'autre. A la périphérie du pneu se trouve la bande de roulement, couche d'usure qui est effectivement en contact avec la route, et dont la profondeur est de l'ordre de 8 mm sur un pneu neuf. Le dessin de la bande de roulement est fondamental vis-à-vis de l'écoulement de l'eau, mais aussi du refroidissement sur route sèche. La dureté du caoutchouc choisi pour la bande de roulement résulte d'un compromis entre grip et usure.

Le caoutchouc utilisé dans les pneus, mélangé à d'autres composants comme de l'huile ou du noir de carbone, a une densité de l'ordre de 1200 kg/m³. Un pneu moderne typique pèse environ 12 kg, dont 4 de caoutchouc, 2 kg de noir de carbone, 2 kg d'huile, 3 kg d'acier et 1 kg de rayonne. Le caoutchouc ne représente donc qu'un tiers du poids total. La capacité thermique spécifique du mélange est de l'ordre de 1200 J/kg K. La conductivité thermique du caoutchouc est faible, et c'est en partie pour l'améliorer que l'on utilise du noir de carbone. La valeur à 20^o est de l'ordre de k₂₀ = 0.23 W/m K. La sensibilité de la conductivité à la température sur la plage qui nous intéresse (0 à 150^o) peut être approximée par k = k₂₀(293/T).

Ajouter aux favoris         haut de la page        Plan du Site

Le caoutchouc est un matériau visco-élastique, ce qui signifie que son comportement peut être modélisé de la manière suivante :

Lorsqu'une excitation en déplacement est appliquée en A, la force résultante dépend de la fréquence. A basse fréquence, l'effet de l'amortisseur est quasi-négligeable, et la raideur apparente sera celle des deux ressorts en série. A haute fréquence, l'amortisseur ne bougera alors quasiment plus, et seul le ressort k₁ jouera son rôle. Peu d'énergie est dissipée par l'amortisseur dans ces deux cas. Entre ces extrêmes, il existe évidemment un point où la dissipation d'énergie est maximale.

L'amortissement d'un pneu est non-linéaire, dépendant de l'amplitude, mais insensible à la pression car provoqué principalement par l'hystérésis de la carcasse et le frottement au sol.

Le coefficient de frottement \mu caoutchouc/sol dépend de la nature du sol, de la température T et de la vitesse de glissement v. La valeur de crête peut être supérieure à 2. Les courbes \mu = f(v) obtenues à différentes températures peuvent être ramenées à une seule en utilisant la transformation dite de Williams-Landel-Ferry (WLF) basée justement sur un modèle visco-élastique. Sur une surface assez rugueuse, il existe pour une certaine vitesse un pic assez marqué, dû à la distortion du caoutchouc autour des aspérités. Le noir de carbone améliore la résistance à l'usure mais diminue la valeur de crête et la valeur moyenne du coefficient de frottement. Il existe ceci dit des dizaines de variétés de noir, dont le comportement n'est évidemment pas identique. Les additifs à base d'huile permettent d'améliorer le coefficient de frottement, en remontant la courbe vers le haut et en favorisant plutôt les faibles vitesses de glissement.

Sur la glace, le coef de frottement du caoutchouc peut changer brutalement. Sur une glace très froide et lisse, on peut atteindre des coefficients plus élevés que sur le verre, avec des caoutchoucs adaptés. Cependant, juste en-dessous du point de fusion de la glace, la pression engendrée par le pneu la fait fondre, et le coefficient s'écroule.

Ajouter aux favoris         haut de la page        Plan du Site

Le caoutchouc est en outre assez sensible à l'étendue de la zone de contact, contrairement à bon nombre de matériaux. En effet, du fait de sa souplesse, l'augmentation de la force verticale accroît l'aire de contact effective, le caoutchouc venant se "loger" dans les anfractuosités (ce n'est principalement pas la profondeur de ces irrégularités du sol qui joue, mais leur angle avec la verticale) . On constate que le coefficient de friction évolue proportionnellement à la pression moyenne de contact à la puissance -0.15. Une composante due à l'adhésion intervient aussi dans le frottement, par formation de liens moléculaires, du caoutchouc avec le sol. Cet aspect est plus important dans des conditions sèches, alors que la composante due à l'hystérésis est plus importante sur le mouillé.

On distingue trois rayons pour un pneu : un rayon non chargé R_u, un rayon sous charge R₁, et un rayon effectif R_e de roulement. Le premier est simplement donné par la circonférence du pneu divisée par 2 \pi. Le second, qui dépend évidemment de la charge, est la distance de l'axe de roue au sol. Il est égal au premier moins la déflexion verticale d_t sous charge, qui est typiquement de 18 à 24 % de la section du pneu. Le rayon effectif R_e est obtenu en divisant la vitesse de translation de l'axe de roue par la vitesse angulaire de la roue. R_e est infini pour une roue bloquée en train de glisser, alors qu'il est nul pour une roue immobile en train de patiner. R_e n'est pas égal à R₁, même en "roulement libre". En fait, R_e est plutôt proche de R_u dans ces conditions, et on a approximativement R_e = R_u - d_t/3.

La longueur de l'empreinte au sol est de l'ordre de la moitié du rayon, et l'arc sous-tendu est d'environ 30^o. La couronne du pneu est donc marquée par un angle de 15^o à chaque extrémité de la zone de contact.

La déflexion d_t est assez précisément proportionnelle à la charge verticale, ce qui permet de dire que la raideur est approximativement constante. Elle est de l'ordre de 250 N/mm, et obtenue à 80 % par la pression de gonflage. Cette raideur varie avec la vitesse, puisqu'elle augmente de 0.4 % par m/s, et avec le ratio C_y = F_y/F_z entre force latérale et verticale, le coefficient étant ici négatif, de l'ordre de -0.2.

On peut également déterminer une raideur dynamique (en non-roulement), par exemple en laissant "tomber" le pneu d'une hauteur où il est juste en contact avec le sol. Son centre de gravité va alors osciller pour rejoindre la position d'équilibre sous charge, et l'allure de la sinusoïde amortie que l'on obtient permet de déterminer la raideur dynamique de ce pseudo-système à un ddl, ainsi que le décrément logarithmique.

La raideur dynamique en roulement peut être déterminée expérimentalement, en mesurant sa réponse à une excitation harmonique connue. Elle peut être, pour des voitures de tourisme, inférieure de 10 à 15 % à la raideur statique.

Ajouter aux favoris         haut de la page        Plan du Site

L'amortissement d'un pneu est non-linéaire, dépendant de l'amplitude, mais insensible à la pression car provoqué principalement par l'hystérésis de la carcasse et le frottement au sol. Il peut être vu comme une combinaison d'un amortissement de Coulomb et d'un amortissement visqueux.

Au-delà d'une certaine vitesse de roulement, une onde se développe dans la couronne, avec une amplitude d'environ 10 mm et une longueur d'onde de l'ordre de 100 mm. Cette onde peut s'étendre sur plus d'un quart de la circonférence du pneu. La vitesse c de cette onde peut être donnée par

c = sqrt (t/\rho),

où t est la tension circonférentielle de la couronne (dépendant de la pression de gonflage et de la vitesse), et \rho sa masse volumique. Une fois cette vitesse périphérique dépassée, la bande de roulement n'a plus le temps de recevoir par déformation élastique l'information concernant l'impact prochain avec le sol. La longueur d'onde L correspondante dépend de la vitesse, et l'expression 

L = L₀ sqrt ((v\c)²-1),

où L₀ est une constante, permet de rendre compte des observations expérimentales.

L'analogie avec le nombre de Mach pour les fluides nous amène à définir le nombre de Turner

n_T = v / c

où v est la vitesse de translation du véhicule, soit pour une roue "libre"

n_T = \omega R_u / sqrt (t/\rho)

La présence de telles ondes est source de dissipation d'énergie, d'augmentation de la résistance au roulement et d'échauffement de la carcasse.

Le coefficient de résistance au roulement est de l'ordre de 0.01 à 0.025 pour les véhicules de tourisme, et vient à 80 % de l'hystérésis du matériau.

En fonctionnement, un pneumatique est soumis à plusieurs types d'efforts. Les efforts longitudinaux sont responsables de l'accélération ou du freinage. Les efforts latéraux permettent au véhicule de négocier un virage. Ces forces latérales et longitudinales sont exprimées dans un repère lié au pneu, repère mobile lorsqu'on tourne le volant, par exemple. On peut alors décomposer ces forces dans un repère lié au véhicule, et on parlera alors de force de traction pour la composante dans l'axe longitudinal du véhicule, et de force "centrale" pour la composante orthogonale.

Un pneu est également soumis à trois moments, un autour de chaque axe. Le moment autour de z est appelé moment d'auto-alignement, celui autour d'y est le moment de résistance au roulement, et le moment autour de x est le moment de renversement.

Note du ouaibmastair : bon, vous avez dix minutes pour digérer puis >>>>>>>>>>>>> interro écrite !